Ley de exponentes

Primera ley: potencia de exponente igual a 1

Cuando el exponente es 1, el resultado será el mismo valor de la base: a¹ = a.

Ejemplos

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Segunda ley: potencia de exponente igual a 0

Cuando el exponente es 0, si la base es distinta de cero, el resultado será :, a⁰ = 1.

Ejemplos

1⁰ = 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

Tercera ley: exponente negativo

Como el exponte es negativo, el resultado será una fracción, donde la potencia será el denominador. Por ejemplo, si m es positivo, entonces a^-m =1/a^m.

Ejemplos

– 3^-1 = 1/ 3.

– 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

– 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

Cuarta ley: multiplicación de potencias con base igual

Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados: a^m _* aⁿ = a^m+n.  

Ejemplos

– 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

– 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

– 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹

Quinta ley: división de potencias con base igual

Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan como sigue: a^m / aⁿ = a^m-n.  

Ejemplos

– 9² / 9¹ = 9 ^{(2 – 1)} = 9¹.

– 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 – 10)} = 6⁵.

– 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 – 6)} = 49⁶.

Sexta ley: multiplicación de potencias con base diferente

En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Ejemplos

– 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

– 45¹¹ _* 9¹¹ = (45*9)^{11 =} 405¹¹.

Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a_*b)^m=a^m_* b^m.

Ejemplos

– (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

– (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Séptima ley: división de potencias con base diferente

Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente: a^m / b^m = (a / b)^m.

Ejemplos

– 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

– 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

De igual forma, cuando una división se encuentra elevada a una potencia, el exponente va a pertenecer en cada uno de los términos: (a / b) ^m = a^m /b^m.

Ejemplos

– (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

– (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera:

– (a / b)^-n = (b / a )ⁿ = bⁿ / aⁿ.

– (4/5) ^-9 = ( 5 / 4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Octava ley: potencia de una potencia

Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia —es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican: (a^m)ⁿ=a^m*n.

Ejemplos

– (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

– (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

– (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Novena ley: exponente fraccionario

Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz: